Menggunakan induksi matematika, terbukti bahwa:
- 2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2n)² = ⅔ n(n + 1)(2n + 1) untuk setiap n bilangan asli.
- 1/(1 × 3) + 1/(3 × 5) + 1/(5 × 7) + …. + 1/(2n – 1)(2n + 1) = n/(2n + 1) untuk setiap n bilangan asli.
Penjelasan dengan langkah-langkah
Ada dua langkah dalam induksi matematika yaitu:
- Buktikan bahwa untuk n = 1 benar
- Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar
Diketahui
3) 2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2n)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex]n(n + 1)(2n + 1)
[tex]4) \: \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1}[/tex]
Untuk setiap n bilangan asli
Ditanyakan
Buktikan rumus tersebut menggunakan induksi matematika!
Jawab
Nomor 3
2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2n)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex]n(n + 1)(2n + 1)
Akan dibuktikan untuk n = 1 benar.
(2n)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex]n(n + 1)(2n + 1)
(2 . 1)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex]1(1 + 1)(2 . 1 + 1)
(2)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex]1(2)(3)
4 = 4
Terbukti
Misal kita asumsikan untuk n = k benar.
2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex]k(k + 1)(2k + 1)
Akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar.
2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + (2(k + 1))² = [tex]\frac{2}{3}[/tex](k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)
2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + 2² (k + 1)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex](k + 1)(k + 2)(2k + 2 + 1)
2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + 4(k + 1)² = [tex]\frac{2}{3}[/tex](k + 1)(k + 2)(2k + 3)
Pembuktian
2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)² + 4(k + 1)²
= [2² + 4² + 6² + + 8² + …. + (2k)²] + 4(k + 1)²
= [tex]\frac{2}{3}[/tex]k(k + 1)(2k + 1) + 4(k + 1)²
= [tex]\frac{2}{3}[/tex]k(k + 1)(2k + 1) + [tex]\frac{12}{3}[/tex](k + 1)(k + 1)
= [tex]\frac{2}{3}[/tex](k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1))
= [tex]\frac{2}{3}[/tex](k + 1) [2k² + k + 6k + 6)
= [tex]\frac{2}{3}[/tex](k + 1) [2k² + 7k + 6)
= [tex]\frac{2}{3}[/tex](k + 1)(k + 2)(2k + 3)
Terbukti
Nomor 4
[tex]\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1}[/tex]
Akan dibuktikan untuk n = 1 benar.
[tex]\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(2.1 - 1)(2.1 + 1)} = \frac{1}{2.1 + 1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(2 - 1)(2 + 1)} = \frac{1}{2 + 1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(1)(3)} = \frac{1}{3}[/tex]
[tex]\frac{1}{3} = \frac{1}{3}[/tex]
Terbukti
Misal kita asumsikan untuk n = k benar.
[tex]\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} = \frac{k}{2k \:+\: 1}[/tex]
Akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar.
[tex]\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2(k \:+\: 1) \:-\: 1)(2(k \:+\: 1) \:+\: 1)}= \frac{k \:+\: 1}{2(k \:+\: 1) \:+\: 1}[/tex]
[tex]\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2k \:+\: 2 \:-\: 1)(2k \:+\: 2 \:+\: 1)}= \frac{k \:+\: 1}{2k \:+\: 2 \:+\: 1}[/tex]
[tex]\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}= \frac{k \:+\: 1}{2k \:+\: 3}[/tex]
Pembuktian
[tex]\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)} + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \left(\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{(2k \:-\: 1)(2k \:+\: 1)}\right) + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \left(\frac{k}{2k \:+\: 1}\right) + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \frac{k}{2k \:+\: 1} \:.\: \frac{(2k \:+\: 3)}{(2k \:+\: 3)} + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \frac{k(2k \:+\: 3)}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)} + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \frac{2k^{2} \:+\: 3k}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)} + \frac{1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \frac{2k^{2} \:+\: 3k \:+\: 1}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \frac{(2k \:+\: 1)(k \:+\: 1)}{(2k \:+\: 1)(2k \:+\: 3)}[/tex]
[tex]= \frac{k \:+\: 1}{2k \:+\: 3}[/tex]
Terbukti
Pelajari lebih lanjut
Materi tentang induksi matematika https://brainly.co.id/tugas/51928285
#BelajarBersamaBrainly #SPJ1
[answer.2.content]
